ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ. ಈ ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ (ಅರಿತ್‌ಮೆಟಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್) μ(x) ಎಂಬುದು ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ನೀಡಿದ ಉತ್ತಮ ಕೊಡುಗೆ. ಇಲ್ಲಿ x = ಚರ. ಇದು ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಂದರೆ N = {1, 2, 3, ...} ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾದರೆ, x ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಅರ್ಥಾತ್ μ(x) ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಾಂತ್ಯ (domain) N ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.

N ಪ್ರಾಂತ್ಯವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ. ಈಗ $x>1$ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಯಾವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಲಿ, ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಅನುವರ್ತಿಸುವುದು. ಇಂಥ ಅಪವರ್ತನವು (factor) ಏಕೈಕ ಮಾತ್ರ. ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು (ಪ್ರೈಮ್ಸ್) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಲ ಬಂದಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ (1): 12 = 2 x 2 x 3. ಇಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ 2. ಇದು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ (2): 15 = 3 x 5. ಇದು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾದ 3 ಮತ್ತು 5 ರ ಗುಣಲಬ್ಧ.

ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಈ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ μ ವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 1: μ(1) = 1 ಮತ್ತು $x>1,x\epsilon N$ಆದಾಗ x ಎಂಬುದು n ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ $\mu (x)=(-1)^{n}$ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಲ್ಲದೆ x ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚುಸಲ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ್ದರೆ, $\mu (x)=0$ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ (1): $\mu (12)=0$ ಮತ್ತು $\mu (15)=(-1)^{2}=1$

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 2: $\xi$ ಯಾವುದೇ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಈಗ $n\leq \xi <(n+1)$ ಆಗುವಂಥ ಕನಿಷ್ಠತಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (whole number) n ಏಕೈಕವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ n ನನ್ನು $\xi$ ನ ಪೂರ್ಣಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು $n=[\xi ]$ ಎಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದು.

ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ μ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1: a ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ

$\sum _{d\mid a}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}a=1,\\0&{\text{if }}a>1.\end{cases}}$ ಆದಾಗ

ಇಲ್ಲಿ d ಯು a ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Σ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕವಾದರೊ Σ ಸಂಕಲನ a ಯ ಎಲ್ಲ ಅಪವರ್ತನ d ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2: $[\xi ]$; $\sum \mu (j)[\xi /j]=1$; j=1

ಪ್ರಮೇಯ 3: m > 1 ಆದರೆ, $\left|\sum _{n=1}^{m}{\frac {\mu (n)}{n}}\right|\leq 1$

ಪ್ರಮೇಯ 4: P ಯಾವುದೇ ಅಂಕೋತ್ಪನವಾದರೂ $G(a)=\sum _{d\mid a}F(d)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದರ ವಿಲೋಮ ಸಂಬಂಧ $F(a)=\sum _{d\mid a}\mu (d)G\left({\frac {a}{d}}\right)$ಪರಿಪಾಲಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮೋಬಿಯಸ್ ವಿಲೋಮಸೂತ್ರ.

ಮೂಲಗಳು

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York; Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Bost, J.-B.; Connes, Alain (1995), "Hecke Algebras, Type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory", Selecta Mathematica, New Series, 1 (3): 411–457, doi:10.1007/BF01589495, S2CID 116418599
• Deléglise, Marc; Rivat, Joël (1996), "Computing the summation of the Möbius function", Experimental Mathematics, 5 (4): 291–295, doi:10.1080/10586458.1996.10504594, S2CID 574146

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Weisstein, Eric W., "Möbius function", MathWorld.