ಶಂಕುಜಗಳು

ಬಣ್ಣವುಳ್ಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಕಪ್ಪು ಗಡಿರೇಖೆಗಳು ಶಂಕುಜಗಳಾಗಿವೆ. ಅತಿಪರವಲಯದ ಉಳಿದರ್ಧವನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಇದು ಯುಗ್ಮ ಶಂಕುವಿನ ತೋರಿಸದಿರುವ ಉಳಿದ ಅರ್ಧಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

ಶಂಕುಜಗಳು ಎಂದರೆ ಲಂಬವೃತ್ತೀಯ ಶಂಕುವನ್ನು (right circular cone) ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ ಅಡ್ಡಕೊಯ್ತಗಳು ಅಥವಾ ಛೇದಗಳು (ಕಾನಿಕ್ ಸೆಕ್ಷನ್ಸ್, ಕಾನಿಕ್ಸ್). ಶಂಕುವಿನಿಂದ ಜನಿಸಿದವಾದ್ದರಿಂದ ಈ ಹೆಸರು.

ಬಗೆಗಳು

ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಬಗೆಯ ಶಂಕುಜಗಳಿವೆ: ದೀರ್ಘವೃತ್ತ (ಎಲಿಪ್ಸ್), ಪರವಲಯ (ಪ್ಯರಾಬೊಲ), ಅತಿಪರವಲಯ (ಹೈಪರ್ಬೊಲ). ಛೇದಕ ತಲದ ವಿನ್ಯಾಸ ಅನುಸರಿಸಿ ಇವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮೈದಳೆಯುತ್ತವೆ. ಶಂಕುವನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗದಿಂದ ಉಭಯ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

ಈಗ ಶಂಕುವನ್ನು ಸಮತಲ ಒಂದೇ ಕಡೆ ಛೇದಿಸಿದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವೂ, ಶಂಕುವಿನ ಜನಕರೇಖೆಯೊಂದಕ್ಕೆ ಅದು ಸಮಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಪರವಲಯವೂ, ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ ಅತಿಪರವಲಯವೂ ಲಭಿಸುತ್ತವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮಾತ್ರ ಸಂವೃತ (closed), ಉಳಿದೆರಡು ವಿವೃತ (open). ಛೇದಕತಲ ಶಂಕುವಿನ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (axis) ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ (perpendicular) (ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧಾರತಲಕ್ಕೆ - base ಸಮಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ - parallel) ಆಗ ಅಡ್ಡಕೊಯ್ತವೊಂದು ವೃತ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಅದು ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕವೇ ಹಾದು ಹೋದಾಗ ಒಂದು ಜೊತೆ ಸರಳರೇಖೆಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ.

ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಶಂಕುವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸದೆ ಎಲ್ಲ ಶಂಕುಜಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಮತಲವೊಂದರಲ್ಲಿ S ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನೂ S ಮೂಲಕ ಹೋಗದ l ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೂ ಆಯೋಣ. P ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಚರಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. (ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಆಗಿರುವಂತೆ P ಚಲಿಸಿದರೆ ಅದರ ಪಥವೊಂದು ಶಂಕುಜ ಎಂದು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ. e<1 ಆಗಿರುವಾಗ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವೂ, e=1 ಆಗಿರುವಾಗ ಪರವಲಯವೂ, e>1 ಅತಿಪರವಲಯವೂ ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. e=0 ಆಗಿರುವಾಗ ವೃತ್ತ. e ಗೆ ಶಂಕುಜದ ಉತ್ಕೇಂದ್ರತೆ (ಎಕ್ಸೆಂಟ್ರಿಸಿಟಿ) ಎಂದೂ S ಗೆ ನಾಭಿ ಎಂದೂ, SX ಗೆ ಅಕ್ಷ (axis) ಎಂದೂ L ಗೆ ನಾಭೀಲಂಬ (ಲೇಟಸ್ ರೆಕ್ಟಮ್) ಎಂದೂ ಹೆಸರು.

ಇತಿಹಾಸ

ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ಕ್ರಿಸ್ತಪೂರ್ವ ದಿನಗಳಂದು ಕೇವಲ ಬೌದ್ಧಿಕ ಕ್ರೀಡೆಯಾಗಿ ಶಂಕುಜಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಿದ್ದರು. ಅಲೆಗ್ಸಾಂಡ್ರಿಯದ ಪಾಪ್ಪಸ್ (3ನೆಯ ಶತಮಾನ) ಇವೆಲ್ಲ ಚಿಂತನೆಗಳನ್ನೂ ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಿ ಸಾಧನೆಗಳ ಸಹಿತ ಪುಸ್ತಕ ಬರೆದಿಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ.

ಎಲ್ಲ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೂ S’ ಮತ್ತು S ಆಯಾ ಶಂಕುಜದ ನಾಭಿಗಳು, C ಕೇಂದ್ರ, V ಆಗಿ ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷ.

16, 17ನೆಯ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ (ಆಲ್ಜಿಬ್ರೇಕ್/ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಜ್ಯೊಮೆಟ್ರಿ) ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಾಗ ಯುಕ್ತ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ದು ಶಂಕುಜಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು:

ವೃತ್ತ: $x^{2}+y^{2}=a^{2}$

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

ಪರವಲಯ: $y^{2}=4ax$

ಅತಿಪರವಲಯ: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

ಯೋಹಾನ್ ಕೆಪ್ಲರ್ (1571-1630) ಗ್ರಹಚಲನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣಿತಮಾರ್ಗದಿಂದ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದಾಗ (1605, 1609, 1618) ಶಂಕುಜಗಳಿಗೆ, ಅಲ್ಲಿಯೂ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಬಂದಿತು. ಕ್ರಿಸ್ತಪೂರ್ವ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಬೌದ್ಧಿಕ ಕ್ರೀಡೆಯಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದ ಶಂಕುಜಗಳು ಶತಮಾನಾನಂತರ ನಿಸರ್ಗದ ವಾಸ್ತವತೆಗೆ ಬರೆದ ಭಾಷ್ಯಗಳಾದದ್ದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತನಾದ ಒಬ್ಬ ವಿಜ್ಞಾನ ಲೇಖಕ ಉದ್ಗರಿಸಿದ, “ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಿ ತನ್ನ ಪ್ರತಿಭಾನುಸಾರ ವಿವಿಧ ಪೋಷಾಕುಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿಡುತ್ತಾನೆ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಂದೋ ಒಂದು ದಿನ ಇಂಥ ಪೋಷಾಕಿಗೆ ಅಡಕವಾಗಿ ಹೊಂದುವ ವ್ಯಕ್ತಿ ಪ್ರತ್ಯಕ್ಷನಾಗುವುದು ಎಂಥ ಮೋಡಿ!”

ಕೆಪ್ಲರನ ಅನಂತರ ಬಂದ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1642-1727) ವಿಶ್ವದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ನಿಯಮವನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ (1680 ರ ದಶಕ). ಗ್ರಹಚಲನ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಈ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ನಿಯಮವನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಗ್ರಹಕಕ್ಷೆಯೊಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಇದರ ಒಂದು ನಾಭಿಯಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯ ಇದೆಯೆಂದು ಶ್ರುತವಾಯಿತು. ಇವೆಲ್ಲ ಚಿಂತನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಗಳ ಅರ್ಥ: ವಿಜ್ಞಾನ ಎಂಬುದು ವಿಶ್ವದ ಉದ್ದೀಪನೆಗೆ (ಸ್ಟಿಮ್ಯುಲಸ್) ಮಾನವಮತಿಯ ಅನುಕ್ರಿಯೆ (ರೆಸ್ಪಾನ್ಸ್).

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Weisstein, Eric W., "Conic Section", MathWorld.
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.