ಸದಸ್ಯ:Nikhilesh2340335/ನನ್ನ ಪ್ರಯೋಗಪುಟ

ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ

ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಲೀ ಗುಂಪುಗಳ ಸನ್ನಿಹಿತ ರೇಖೀಯೀಕರಣವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ, ಲೀ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಗಣಿತೀಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ದಿ ಪಡಿಸಲು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ, ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ, ಲೀ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು, ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಮತ್ತು ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ದಿ ಪಡಿಸಲು ಅನೇಕ ಗಣಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರೇಖೀಯ ಅಲ್ಜೆಬ್ರಾ, ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಂತಹ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗವಾಗಿದೆ.

ಇತಿಹಾಸ

ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ನಾರ್ವೇಜಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಸೋಫಸ್ ಲೀ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಲೀ ಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದಲೇ ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಮೂಲ ಉಂಟಾಯಿತು. ಲೀ ಗುಂಪುಗಳು ನಿರಂತರ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದು, ಅವು ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಕೃತಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ.

ಸೋಫಸ್ ಲೀ ಅವರು ಈ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ರಚನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ತತ್ವಾವಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಲೀ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾದ ಈ ರಚನೆಗಳನ್ನು "ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಈ ತತ್ವಗಳು ನಂತರ ಎಲೀ ಕಾರ್ಟನ್ ಅವರ ಕೊಡುಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಳತೆಯನ್ನು ಪಡೆದವು. ಕಾರ್ಟನ್ ಅವರು ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಣಾಲಿಕೆಗೆ ತಂದರು ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಶಾಲಗೊಳಿಸಿದರು.

ಈಗ, ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ರೇಖೀಯ ಅಲ್ಜೆಬ್ರಾ ಮತ್ತು ಥಿಯೋರಟಿಕಲ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್‌ನಂತಹ ಹಲವಾರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯ ಇತಿಹಾಸವು 20ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಶಾಖೆಯಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿತು.

ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿವ್ಯಾಖ್ಯೆ

ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ ಒಂದು ವೀಕ್ಷಣಾ ಸ್ಥಳ ${\mathfrak {g}}$ , ಇದು:

ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳ: ಇದು ಕ್ಷೇತ್ರ $\mathbb {R}$ ಅಥವಾ $\mathbb {C}$ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಳ.
ಬ್ರಾಕೆ ಸಂಚಲನ (Lie Bracket): ಇದು ಎರಡು ತತ್ವಗಳ ನಡುವೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಿತ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ:

   $[x,y]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ .  
  ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೀಗಿರಬೇಕು:  
  * ಯಾಂತ್ರಿಕತೆ (Bilinearity):  $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]$ , ಎಲ್ಲ  $a,b\in \mathbb {R}$ ,  $x,y,z\in {\mathfrak {g}}$ .  
  * ಪ್ರತಿಕ್ರಮ (Antisymmetry):  $[x,y]=-[y,x]$ .  
  * ಜಕೋಬಿ ಆಪಾದನೆ (Jacobi Identity):  $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ .

ಈ ನಿಯಮಗಳು ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುತ್ತವೆ. ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಚಲನದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇವು:

1. $sl(2, C)$ : ಇದು 2x2 ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಗುಂಪು, ಆದರೆ ಅದರ ಟ್ರೇಸ್ ಶೂನ್ಯವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದರ ಸಿಂಪಲ್ ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಇದು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ. ಈ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನೇಕ ಗಣಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಯನರಿ ಪದ್ಧತಿಗಳಲ್ಲಿ.

2. $SO(3)$ : ಇದು 3-ಆಯಾಮದ ರೋಟೇಷನ್ ಗುಂಪು $ SO(3) $ ಗಳ ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ. ಇದು 3-ಆಯಾಮದ ಸ್ಪೇಸ್‌ನಲ್ಲಿ ರೋಟೇಷನ್ಗಳ ಸಮಿತಿಯ ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾಗಳ ಪಟ್ಟಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಆಂತರಿಕ ದ್ಯಾವತೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಬಹುಮಾನವಾಗಿವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ.

3. $SU(2)$ : ಇದು 2x2 ಯುನಿಟರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಗುಂಪು $ SU(2) $ ಒಳಗೊಂಡ ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾ. ಇದು ಬಹುಪಾಲು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕಾನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ಪಿನ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾರ್ಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

4. $ab(n)$ : ಇದು "ಅಬೇಲಿಯನ್" ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲದ, ಶೂನ್ಯ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿಯೂ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಈ ಎಲ್ಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಪಬೀಜಗಣಿತಗಳು, ಐಡಿಯಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಮೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್

ಉಪಬೀಜಗಣಿತ: ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಒಂದು ಉಪಭಾಗವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ಬ್ರಾಕೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಉಪಬೀಲಾಜ್ರಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಪಬೀಲಾಜ್ರಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಉಪಶಾಖೆಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಐಡಿಯಲ್‌ಗಳು: ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಒಂದು ಐಡಿಯಲ್ ${\mathfrak {i}}$ ಇದು $[x,y]\in {\mathfrak {i}}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಐಡಿಯಲ್‌ಗಳು ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾಗಳ ಅಂತರಂಗವನ್ನು ಮತ್ತು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ.
ಹೋಮೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್: ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ಹೋಮೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಮಾಪನದ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾಗೆ ನಿಗಮಿತವಾಗಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಹೋಮೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್‌ಗಳು ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ.

ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು (Representations)

ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಎಂದರೆ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳ $ V $ ಮತ್ತು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಮಾಪನ $ \rho: \mathfrak{g} \to \text{End}(V) $, ಇದು ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬದಲಾಗುವ ಮಾಪನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

1. ಅರ್ಥ

  ಪ್ರತಿನಿಧಿಯು ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಮಾಪನ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಸಂಚಲನವನ್ನು ಒಂದು ಬದಲಾಗುವತೆ (linear transformation) ಮೂಲಕ ಅನುಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು, ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಬೈಸಿಕ್ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಗಣಿತೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.

2. ಪ್ರತಿನಿಧಿಯ ಮಾದರಿಗಳು

  * \( \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \) ನ ಪ್ರತಿನಿಧಿ: ಇದು 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರತಿನಿಧಿ. ಈ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯು ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು \( \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \)‌ನ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.
  * \( \mathfrak{so}(3) \) ನ ಪ್ರತಿನಿಧಿ: ಇದು 3-ಆಯಾಮದ ರೋಟೇಷನ್ಗಳ ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾದ ಪ್ರತಿನಿಧಿ. ಇದನ್ನು \( SO(3) \) ರೋಟೇಷನ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನೂ ಉಪಯೋಗಿಸಿ, ದ್ಯಾವತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ವೇಗದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.
  * ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕಾನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು: ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಟೇಟ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಲಭ್ಯತೆಗಳನ್ನು, ವಿಭಿನ್ನ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು.

ಈ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಹಾಗೂ ಅದರ ಸಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ರಚನೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣ

ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಮಾರ್ತುಬೇಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯವಾದ ವರ್ಗಗಳು:
1. ಅರ್ಧಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತ: ಇದು ಸರಳ ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ರಚನೆಯಿಂದ ಬೇರೆ ಆಗಿದ್ದು, ಸಿಂಪಲ್ ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
2. ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತ: ಇದು ಬೇರೆಯ ಯಾವುದೇ ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಅಧೀನವಾಗಿರದ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿವೆ.
3. ಅಶ್ರಿತ ಬೀಜಗಣಿತ: ಇದು ಇತರ ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿವೆ.

ಲೀ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ

ಲೀ ಗುಂಪುಗಳು ನಿರಂತರ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೀ ಗುಂಪುಗಳು ವಿವಿಧ ರೇಖೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಮತ್ತು ಇವು ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ.

ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ, ಲೀ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತದೆ. ಲೀ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಫೋಟಕತೆಯನ್ನು ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಲೀನಿಯರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ರಚನೆಯನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟು ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲೀ ರಿಂಗ್

ಲೀ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಲೀ ಬೀಲಾಜ್ರಾ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಲೀ ರಿಂಗ್‌ಗಳು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಚಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ ನಿರಂತರ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು ವಿವರಣೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಲೀ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಕಠಿಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಲೀ ಗುಂಪುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಹುಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

Sophus Lie and the Theory of Transformation Groups, by Élie Cartan.
"Lie Algebras in Modern Physics" by Howard Georgi.
"Introduction to Lie Algebras and Representation Theory" by James E. Humphreys.
"Lie Groups, Lie Algebras, and Representations" by V.S. Varadarajan.