ಸದಿಶ

ಸದಿಶ ಎಂದರೆ ದಿಶೆ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ (magnitude) ಇರುವ ಭೌತರಾಶಿ (ವೆಕ್ಟರ್). ವೇಗ, ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ, ಬಲ ಮುಂತಾದವು ಸದಿಶಗಳು. ಪರಿಮಾಣವೊಂದರಿಂದಲೇ ವಿಶದಪಡಿಸಬಹುದಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಉಷ್ಣ, ಶಕ್ತಿ, ಘನಫಲ ಮುಂತಾದವುಗಳಿಗೆ ಅದಿಶಗಳು (ಸ್ಕೇಲಾರ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.

A ನಿಂದ B ಗೆ ಸದಿಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆ

ಸದಿಶವೊಂದರ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತೀಯವಾಗಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆ ಎಳೆದು ${\stackrel {\longrightarrow }{a}}={\stackrel {\longrightarrow }{AB}}$ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ |a| ಎನ್ನುವ ಪ್ರತೀಕ ಸದಿಶದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು (ಅಳತೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ದಿಶೆ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವ ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ (equal vector). ಯಾವುದೇ ಸದಿಶವನ್ನು ಸಮಾಂತರವಾಗಿ (parallely) ಬೇರೆಡೆಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸದಿಶ (free vector), ಹೀಗಲ್ಲದೆ ಅದು ಒಂದೇ ನೆಲೆಗೆ ಬಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಂಧ ಸದಿಶ (bound vector).

ಒಂದೇ ಸ್ವರೂಪದ ಎರಡು ಅದಿಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಮಗೆಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು (addition laws) ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಸದಿಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾದರೋ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮವನ್ನು (parallelogram addition law) ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ರಕಾರ O ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ a ಮತ್ತು b ಸದಿಶಗಳು ಪಾರ್ಶ್ವಬಾಹುಗಳಾಗಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು O ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಟು, ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ದೂರದ C ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 1 - ಸದಿಶ ಸಂಕಲನ

O ಇಂದ C ಕಡೆಗೆ ದಿಶೆಯಿರುವ ಈ ಕರ್ಣವೇ ${\overrightarrow {a}}$ ಮತ್ತು ${\overrightarrow {b}}$ ಗಳ ಸದಿಶ ಮೊತ್ತ +. ಹೊಸದೊಂದು ಸದಿಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಕ್ಕೆ ಇದೊಂದು ಕ್ರಮವಾದರೆ, ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರವೆಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ರಮವೂ ಇದೆ. k ಒಂದು ಅದಿಶವಾಗಿ v ಒಂದು ಸದಿಶವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ kv ಎಂಬ ಗುಣಲಬ್ಧ v ಯ ಪರಿಮಾಣದ k|v| ದಷ್ಟು ಪರಿಮಾಣವುಳ್ಳ, k>0 ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ v ಯ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿಯೂ k<0 ಆಗಿರುವಾಗ ವಿರುದ್ಧ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಇರುವ ಸದಿಶವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈ ಎರಡು ಕ್ರಮಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿ ಸದಿಶಗಳು ಮುಂದಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ.

ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ಸಹಚಾರಿತೆ (associativity): ${\overrightarrow {a}}$ + (${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$) = (${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$) + ${\overrightarrow {c}}$
2. ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲತೆ (commutativity): ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {a}}$
3. ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ತಾದಾತ್ಮ್ಯ ಧಾತು (identity element): ಒಂದು ಧಾತು 0 ಇದ್ದು, ಪ್ರತಿ ${\overrightarrow {a}}$ ಗೆ ${\overrightarrow {a}}$ + 0 = ${\overrightarrow {a}}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಧಾತು 0 ಗೆ ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.
4. ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ವಿಲೋಮ ಧಾತು (inverse element): ${\overrightarrow {a}}$ ಒಂದು ಸದಿಶವಾಗಿದ್ದರೆ, -${\overrightarrow {a}}$ ಎನ್ನುವುದು ಇದ್ದು ${\overrightarrow {a}}$ + (-${\overrightarrow {a}}$) = 0 ಆಗಿರುವುದು. -${\overrightarrow {a}}$ ಗೆ ಸಂಕಲನ ವಿಲೋಮ (additive inverse) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
5. ಫೀಲ್ಡ್ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಾಂಗತ್ಯ: a(b${\overrightarrow {a}}$) = (ab)${\overrightarrow {a}}$. ಇಲ್ಲಿ a, b ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅದಿಶಗಳು.
6. ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರದ ತಾದಾತ್ಮ್ಯ ಧಾತು: 1${\overrightarrow {a}}$ = ${\overrightarrow {a}}$. 1 ಗೆ ಗುಣಾಕಾರ ತಾದಾತ್ಮ್ಯ (mulltiplicative identity) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
7. ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾತ್ಮಕತೆ: a(${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$) = a${\overrightarrow {a}}$ + a${\overrightarrow {b}}$
8. ಫೀಲ್ಡ್ ಸಂಕಲನದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾತ್ಮಕತೆ: (a + b)${\overrightarrow {a}}$ = a${\overrightarrow {a}}$ + b${\overrightarrow {a}}$
9. A_x = A cosθ, A_y = A sinθ. ಇಲ್ಲಿ A ೨ ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸದಿಶ. A_x x-ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, A_y y-ಅಂಶವಾಗಿದೆ. θ ಎನ್ನುವುದು x-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ A ರೂಪಿಸುವ ಕೋನ. ಸದಿಶ A ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ${\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}$ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
10. ೨-ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸದಿಶಗಳಾದ ${\overrightarrow {a}}$ ಮತ್ತು ${\overrightarrow {b}}$ ಗಳ ಅದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧ (ಡಾಟ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್) ${\overrightarrow {a}}.{\overrightarrow {b}}=|a|.|b|.\cos \theta$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ θ ಆ ಎರಡು ಸದಿಶಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ${\overrightarrow {a}}$ = [a_x, a_y] ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ${\overrightarrow {b}}$ = [b_x, b_y] ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಅದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧ ${\overrightarrow {a}}.{\overrightarrow {b}}=a_{x}.b_{x}+a_{y}.b_{y}$ ಆಗಿರುವುದು.
11. ಏಕಕ ಸದಿಶ (Unit vector): ಏಕಾಂಶ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸದಿಶವನ್ನು ಏಕಕ ಸದಿಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ${\overrightarrow {a}}$ ಒಂದು ಸದಿಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ಏಕಕ ಸದಿಶವನ್ನು ${\hat {a}}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ${\hat {a}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|a|}}$.
12. ಋಣಸದಿಶ (Negative vector): ${\overrightarrow {a}}$ ಒಂದು ಸದಿಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಋಣಸದಿಶವೆಂದರೆ ಅದರಷ್ಟೇ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಆದರೆ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸದಿಶ. ಅದನ್ನು $-{\overrightarrow {a}}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ನಾಲ್ಕನೆಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿರುವ $-{\overrightarrow {a}}$ ಎನ್ನುವುದು ${\overrightarrow {a}}$ ಗೆ ಸಮವಾದ ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸದಿಶ. ಇದು ${\overrightarrow {a}}$ ಯ ಋಣಸದಿಶ. ಇದನ್ನು ಜೊತೆ ಕೂಡಿದಾಗ ಬರುವ ಸದಿಶಕ್ಕೆ ಪರಿಮಾಣವಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು 0 ಎಂದು ಬರೆದು ಸೊನ್ನೆ (ಶೂನ್ಯ) ಸದಿಶವೆಂದು (zero vector) ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗೆಯೇ ಏಕ ಪರಿಮಾಣವಿರುವ ಸದಿಶಕ್ಕೆ ಏಕಕ ಸದಿಶವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ${\overrightarrow {a}}$ ಸದಿಶದ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿರುವ ಏಕಕ ಸದಿಶವನ್ನು ${\hat {a}}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರದ ಪ್ರಕಾರ ${\hat {a}}|a|={\overrightarrow {a}}$ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಅದಿಶ, ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಆಮೂರ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗಿದೆ. F = {0, 1, λ , μ, …} ಎನ್ನುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವ ಕೂಡುವ ಗುಣಿಸುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಧಾತುಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. V = {,,,...} ಎಂಬ ಗಣದ ಧಾತುಗಳು F ಗಣದ ಧಾತುಗಳೊಡಗೂಡಿ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿರುವ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಕ್ರಮದಿಂದ ಕೊಡಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೂ V ಯಲ್ಲಿಯೇ ಇರುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಎಂಟು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನೂ ಪಾಲಿಸಿದಲ್ಲಿ, V ಯ ಧಾತುಗಳು ಸದಿಶಗಳೆನಿಸಿಕೊಂಡರೆ, F ಗಣದ ಧಾತುಗಳು ಅದಿಶಗಳೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇಂಥಹ ಎಲ್ಲ ಸದಿಶಗಳಿರುವ V ಗಣ F ನ ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟಿದ ಸದಿಶ ಆಕಾಶವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್).

ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಘಟಕಗಳು

ಸಮಾಂತರವಲ್ಲದ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸದಿಶಗಳು ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ${\overrightarrow {a}}$ ಮತ್ತು ${\overrightarrow {b}}$ ಸದಿಶಗಳೆರಡನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ λ ಮತ್ತು μ ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ λ + μ ಎಂದು ಪಡೆದ ಸದಿಶ ${\overrightarrow {a}}$ ಮತ್ತು ${\overrightarrow {b}}$ ಗಳಿರುವ ತಲದಲ್ಲಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ${\overrightarrow {a}}$ ಮತ್ತು ${\overrightarrow {b}}$ಗಳ ರೇಖಾಸಂಯೋಜಿತ ಸದಿಶ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜನಾಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ದತ್ತ ಸದಿಶವೊಂದನ್ನು ಬೇರೆ ಸದಿಶಗಳ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅನ್ವಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ರೇಖಾಸಂಯೋಜಕ್ರಮದಿಂದ ವಿವರಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಧಾನವೆನಿಸಿದೆ. ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ x, y ಮತ್ತು z ಎಂಬ ಮೂರು ಲಂಬ ನಿರ್ದೇಶಕ ಅಕ್ಷಗಳ (coordinate axes) ಧನದಿಶೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$ ಮತ್ತು ${\hat {z}}$ ಗಳು ಏಕಕ ಸದಿಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸದಿಶ ${\overrightarrow {A}}$ ಯನ್ನು $A_{x}{\hat {x}}+A_{y}{\hat {y}}+A_{z}{\hat {z}}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ A_x, A_y, A_z ಎನ್ನುವವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x, y ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ${\overrightarrow {A}}$ ಸದಿಶದ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಘಟಕಗಳು. ಆಯಾ ದಿಶೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಸ್) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ${\overrightarrow {A}}$ ಯ ಪರಿಮಾಣ ${\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}$ ಎನ್ನುವುದು ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. ${\overrightarrow {B}}$ ಎನ್ನುವುದು ಬೇರೊಂದು ಸದಿಶವಾಗಿದ್ದು, λ ಅದಿಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸದಿಶ ಸಂಕಲನ ಹಾಗೂ ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಕೆಳಗಿನಂತಾಗುತ್ತವೆ.

ಸದಿಶ ಸಂಕಲನ: ${\overrightarrow {A}}$ + ${\overrightarrow {B}}$ = (A_x, A_y, A_z) + (B_x, B_y, B_z) = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)

ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರ: λ${\overrightarrow {A}}$ = $(\lambda A_{x}){\hat {x}}+(\lambda A_{y}){\hat {y}}+(\lambda A_{z}){\hat {z}}$

ಅದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧ

ಚಿತ್ರ 3

ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವಂತೆ ${\overrightarrow {x}}$ ಮತ್ತು ${\overrightarrow {y}}$ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಆವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ θ ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, $x\cdot y$ ಎಂಬ ಅದಿಶವನ್ನು ದತ್ತ ಸದಿಶಗಳ ಅದಿಶ ಅಥವಾ ಒಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ (scalar or inner product). $x\cdot y$ ಗುಣಲಬ್ಧ x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃ ಗೆ ಸಮ. ${\overrightarrow {x}}$, ${\overrightarrow {y}}$ ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧ ಸೊನ್ನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ . ಎನ್ನುವುದು ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ x ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ${\overrightarrow {A}}$ ಯ ವಿಕ್ಷೇಪ A_x ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಸದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧ

${\overrightarrow {A}}$ ಮತ್ತು ${\overrightarrow {B}}$ ಗಳ ಸದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯೇ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣ.

$A\times B=|A||B|\sin(\theta )\,{\hat {n}}$

ಇಲ್ಲಿ |A|,|B|, sin θ ಗಳು ಅದಿಶಗಳು ಮತ್ತು ${\hat {n}}$ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಏಕಕ ಸದಿಶ. ಸಮಾಂತರವಲ್ಲದ ${\overrightarrow {A}}$, ${\overrightarrow {B}}$ ಗಳ ನಡುವೆ ಉಂಟಾಗುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 180⁰ ಗಿಂತ ಜಾಸ್ತಿಯಿದ್ದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಸದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ 180⁰ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಕೋನವನ್ನು θ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 4

ಸದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧದ ದಿಶೆ ${\overrightarrow {A}}$ ಮತ್ತು ${\overrightarrow {B}}$ ಸದಿಶಗಳಿರುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದು. ಈ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಬಲಗೈಯ ಮೂರು ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 4ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಇಟ್ಟು ${\overrightarrow {A}}$ ಯಿಂದ ${\overrightarrow {B}}$ ಕಡೆಗೆ θ ಇರುವ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ ಅದು ಮುಂದುವರಿಯುವ ದಿಶೆಯೇ  ಏಕಕಸದಿಶದ, ಅಂತೆಯೇ A x B ಸದಿಶದ ದಿಶೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. A, B ಮತ್ತು A x B ಗಳು ಮೂರು ಸೇರಿ ಒಂದು ಬಲಗೈ ನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎನ್ನುವಾಗ A x B ನ ದಿಶೆ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಪ್ರಕಾರ A x B = - B x A ಆಗುವುದಲ್ಲದೆ A, B ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದರೂ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಂತರವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, A x B ಸೊನ್ನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಗುಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಏಕಕ ಸದಿಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು ಮುಂದಿನಂತಾಗುತ್ತವೆ.

$A\times B={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\\end{vmatrix}}$

ಮೂಲಸದಿಶಗಳ ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸದಿಶಗಳ ಒಳ ಹಾಗೂ ಹೊರ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಈ ಮುಂದಿನಂತೆಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಗುಣಲಬ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳು

a x (b x c) = (a.c)b - (a.b)c

(a × b) × c = (a.c)b – (b.c)a

ಇಲ್ಲಿ a, b ಮತ್ತು c ಮೂರು ಸದಿಶಗಳು ಪಾರ್ಶ್ವಬಾಹುಗಳಾಗಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಘನದ ಗಾತ್ರ.

ಅದಿಶ ಸದಿಶಗಳ ಅವಕಲನ ಮತ್ತು ಅನುಕಲನ

ಅದಿಶ ಅಥವಾ ಸದಿಶ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಫಲನವಾಗಿರಬಹುದು. ಹೀಗಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೂ ಫಲನಗಳಲ್ಲಾಗುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅವಕಲನಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. t ಎನ್ನುವ ಪ್ರಾಚಲವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಘಟಕಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸದಿಶವೂ ಕೂಡ t ಯ ಉತ್ಪನ್ನವೇ ಆಗುವುದರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ (t) ಯ t ಯ ಜೊತೆಗೆ ಬದಲಾಗುವ ದರವನ್ನು ಮುಂದೆ ಸೂಚಿಸಿರುವಂತೆ ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಅದಿಶ ಮತ್ತು ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು

ಯಾವುದೇ ಅದಿಶ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವು ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಈ ಪ್ರಾಚಲಗಳು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಕೂಡ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೆಲೆಯಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅದಿಶಕ್ಷೇತ್ರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರ ಎನ್ನುವುದು ಕೂಡ ಹೀಗೆಯೇ. O ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಪ್ರಾಚಲಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾದಾಗ O ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸದಿಶ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುವ ಅದಿಶ ಹಾಗೂ ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅವಕಲನಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ತನ್ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ದರಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಮೂಲ ರೀತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ದರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ T(x,y,z) ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಜಾಗದಲ್ಲಿಯ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಉಷ್ಣತೆಯನ್ನು (T) ಸೂಚಿಸುವ ಅದಿಶಕ್ಷೇತ್ರವಾದರೆ $\nabla T$ ಎನ್ನುವ ಸದಿಶವನ್ನು ಉಷ್ಣತೆಯ ಪ್ರವಣತೆ (grad(T)) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕೂ ಯಾವುದಾದರೂ ಏಕಕ ಸದಿಶಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧ ಆ ಏಕಕ ಸದಿಶದ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಉಷ್ಣತಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ದರವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. x, y, z ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಮತ್ತು ಅವಕಲನಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡುವ ಬೇರೆ ಅದಿಶಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೂ ಈ ತೆರೆನಾದ ಪ್ರವಣತೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.

F = (x, y ,z) ಎನ್ನುವುದು ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರವಾದರೆ, $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ಎನ್ನುವ ಅದಿಶವನ್ನು ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಎಂದೂ $\nabla \times \mathbf {F}$ ಎನ್ನುವ ಸದಿಶವನ್ನು ಕರ್ಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಭೌತವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಅಭ್ಯಸಿಸುವಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ನೆರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದಲ್ಲದೆ ಅದಿಶ ಹಾಗೂ ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಈ ರೀತಿಯ ಫಲನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಭೌತರಾಶಿಗಳ ಸ್ವರೂಪಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿಯೂ ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿಯೂ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. v ವೇಗದಿಂದ ಹರಿಯುತ್ತಿರುವ ρ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ದ್ರವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಏಕಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಆಕಾಸದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವ ದರವನ್ನು ಅದರ ಪ್ರವಾಹಸಾಂದ್ರತೆ ρ ಯ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗೇಯೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಹರಿಯುವ ದ್ರವವೆಷ್ಟು ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಇದೇ ಪ್ರವಾಹಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕರ್ಲ್ ಫಲನದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯ ಇನ್ನಿತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಕ್ಕೆ ಬರುವ ಅದಿಶ ಹಾಗೂ ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ.

ಇದುವರೆಗೆ ವಿವರಿಸಿದ ಅದಿಶ ಹಾಗೂ ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅವಕಲನ ರೂಪದ ಫಲನಗಳ ಯುಕ್ತರೀತಿಯ ಅನುಲೋಮರೂಪಗಳೇ ಅನುಕಲನ ಫಲನಗಳು ಅಥವಾ ಅನುಕಲಜಗಳು. ಅದಿಶ ಹಾಗೂ ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಫಲನಗಳೆಂದ ಮೇಲೆ ಅನುಕಲನದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿಯೇ ಇವುಗಳ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. f(u) ಮತ್ತು g(u) ಎನ್ನುವವು, u ಪ್ರಾಚಲದ ಸದಿಶ ಫಲನಗಳಾಗಿದ್ದು S ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, V ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎನ್ನುವುದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆದರೆ ನಿಯತ ಸದಿಶವಾಗಿದ್ದು, ಯು (u) ಸದಿಶದ (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ) ಅನುಕಲಜವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (indefinite integral). ಹೀಗೆಯೇ ಮುಂದುವರಿದು ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ (definite integral), ರೇಖಾನುಕಲಜ, ಕ್ಷೇತ್ರಾನುಕಲಜ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರಾನುಕಲಜಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದಲ್ಲದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಏರ್ಪಡುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಾಸ್, ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಹಾಗೂ ಗ್ರೀನ್‌ರ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದಿಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

• Lang, Serge (1986). Introduction to Linear Algebra (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-96205-0.
• Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 135 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3
• Wilson, Edwin Bidwell (1901). Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. Yale University Press.