ಘನಾಕೃತಿ

ಷಡ್ಭುಜೀಯ ಪಿರಮಿಡ್

ಘನಾಕೃತಿ ಎಂದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗೆ ಒಳಪಡುವ ಬಹುಫಲಕಗಳು, ಗೋಳ, ಗೋಳಕಲ್ಪಗಳು, ಶಂಕುಕಲ್ಪಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಹೆಸರು (ಸಾಲಿಡ್). ಒಂದು ಬಹುಫಲಕವು ಹಲವಾರು ಸಮತಲ ಬಹುಭುಜಗಳಿಂದ (planar polygons) ಆವೃತವಾಗಿರುವ ಘನಾಕೃತಿ. ಈ ಬಹುಭುಜಗಳಿಗೆ ಘನಾಕೃತಿಯ ಫಲಕಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ಎರಡು ಫಲಕಗಳು ಒಂದು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿಯೂ, ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಫಲಕಗಳು ಒಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿಯೂ ಛೇದಿಸುವುವು. ಒಂದು ಪೀನ ಬಹುಫಲಕ (ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್) ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಫಲಕದ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇರುವುದು.

ಇದರ ಸಮತಲ ಛೇದ ಒಂದು ಪೀನ ಬಹುಭುಜ. ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ಲಭಿಸುವ ರತ್ನಗಳ ಮತ್ತು ಖನಿಜಗಳ ಹರಳುಗಳು ಬಹುಫಲಕಗಳು. ಒಂದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕದಲ್ಲಿ (ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್) ಎಲ್ಲ ಫಲಕಗಳೂ ಸಮವಾಗಿವೆ, ಎಲ್ಲ ಘನಕೋನಗಳು (ಸಾಲಿಡ್ ಆ್ಯಂಗಲ್ಸ್) ಸಮವಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಫಲಕದ (ಅಂದರೆ ಬಹುಭುಜದ) ಎಲ್ಲ ಭುಜಗಳೂ, ಎಲ್ಲ ಕೋನಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಕ್ರಮ ಫಲಕ (ಕ್ರಮ ಬಹುಭುಜ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಫಲಕಗಳೂ, ಎಲ್ಲ ಘನಕೋನಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ (ಕಾಂಗ್ರುಎಂಟ್). ಕ್ರಮ ಚತುಷ್ಫಲಕ (ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಟೆಟ್ರಹೆಡ್ರನ್) ಮತ್ತು ಘನ ಇವು ಕ್ರಮಬಹುಫಲಕಕ್ಕೆ ಪರಿಚಿತ ನಿದರ್ಶನಗಳು.

ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಉದ್ದ, ಅಗಲ, ಕೋನಗಳು ಇರುವ ಹಲವಾರು ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಹುಫಲಕವಾಗುವಂತೆ ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿ ದೊರೆಯುವ ಬಹುಫಲಕಕ್ಕೆ ವಿಕೃತರೂಪ (ಡಿಸ್ಟಾರ್ಟೆಡ್ ರೆಪ್ರೆಸೆಂಟೇಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕದ ಅಥವಾ ಘನದ ಒಂದು ಫಲಕವನ್ನು ಕಿತ್ತು ಹಾಕಿದರೆ ಉಳಿಯುವ ಘನಾಕೃತಿ ಒಂದು ವಿಕೃತ ರೂಪವಾಗುತ್ತದೆ. ತೆರೆದಿರುವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಇಂಥ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ವಿಕೃತರೂಪದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ತೆರೆದ ಭಾಗದ ಮೂಲಕ ನೋಡಲು ಸಾಧ್ಯ ಉಂಟು.

ಆಯ್ಲರನ ಪ್ರಮೇಯ

ಒಂದು ಪೀನ ಸಂವೃತ ಬಹುಫಲಕದ ಅಂಚುಗಳ, ಫಲಕಗಳ ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ e, f, v ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ f + v - e = 2. ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಯ್ದು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ನಿಜತ್ವದ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ: ಒಂದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವೂ ಒಂದು m~ ಫಲಕೋನ (m-ಹೆಡ್ರಲ್ ಆ್ಯಂಗಲ್) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಕವೂ ಒಂದು n-ಗನ್ ಆಗ

$2e=mv=nf={\frac {4mn}{2m+2n-mn}}$  (m - 2)(n - 2) < 4

ಈಗ ಒಂದು ಅಂಚು ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅದು ಎರಡು ಫಲಗಳ ಛೇದನವೂ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

2C = mv = nf = k (ಆಗಿರಲಿ)

ಈಗ ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ

$k={\frac {4mn}{2m+2n-mn}}$

ಒಂದು ಪೀನ ಬಹುಫಲಕಕೋನದ ಫಲಕಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 2π ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿನ ಫಲಕಕೋನವೂ 2π/m ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಒಂದು ಕ್ರಮ n-ಭುಜದ ಕೋನ

$\pi \left(1-{\frac {2}{n}}\right)$ ಗೆ  ಸಮವಾಗಿದೆ.

$\therefore \pi \left(1-{\frac {2}{n}}\right)<{\frac {2\pi }{m}}$

∴ (m – 2)(n – 2) < 4     . . . (1)

m-2	n-2	m	n	e	v	f	  ಹೆಸರು
 1	 1	3	3	6	4	4	ಚತುಷ್ಫಲಕ 
 1	 2	3	4	12	8	6	ಪಷ್ಠಫಲಕ (ಘನ)
 1	 3	3	5	30	20	12	ದ್ವಾದಶಫಲಕ
 2	 1	4	3	12	6	8	ಅಷ್ಟಫಲಕ
 3	 1	5	4	30	12	20	ವಿಂಶತಿಫಲಕ

ಕೊನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ (1) ರಿಂದ ಈ ಹಿಂದೆ ಕಾಣಿಸಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕ ನಮಗೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ಐದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕಗಳ ರಚನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಯುವುದು. ಇವನ್ನು ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಪ್ಲ್ಯಾಟೋನಿಕ್ ಘನಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುವುದೂ ಉಂಟು.

ಐದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕಗಳ ರಚನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಕ್ರಮ ಚತುಷ್ಫಲಕವೂ, ಘನವೂ ನಮಗೆ ಸುಪರಿಚಿತ. ಅಲ್ಲದೇ ಒಂದು ಘನದ ಆರು ಫಲಕಗಳ ಆರು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ಕ್ರಮ ಅಷ್ಟಫಲಕದ ಶೃಂಗಗಳೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಫಲಕಗಳು ಎಂಟು ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜಗಳು; ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು ಸರ್ವಸಮ ಚತುಷ್ಫಲಕ ಕೋನಗಳು. ಒಂದು ಕ್ರಮ ಚತುಷ್ಫಲಕದ ಆರು ಅಂಚುಗಳ ನಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ಕ್ರಮ ಅಷ್ಟಭುಜದ (regular octagon) ಆರು ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಕ್ರಮ ಘನಾಕೃತಿಯ ಇರವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು

ಒಂದು ಕ್ರಮ ಘನಾಕೃತಿಯ ಇರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಧಿಸುವುದು ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ: ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಕದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂಚುಗಳಿರುವ ಒಂದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕವಿದೆ.

ಸಾಧನೆ: O ಎನ್ನುವ ಒಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಸಂಗಮಿಸುವ OA, OB, OC, OD ಎಂಬ ನಾಲ್ಕು ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ OAB, OBC, OCD, ODA ಫಲಕಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗ A, B, C, D ಯಲ್ಲಿಯೂ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಚೂ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಕ OAB, OBC, OCD, ODA ಯ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ತ್ರಿಭುಜ ಫಲಕವೂ ಬೇಕಾಗಿವೆ. A, B, C, D ಗಳಿಗೆ O1A, O1B, O1C, O1D ಎನ್ನುವ ನಾಲ್ಕು ಸಂಗಮ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಇವೆಲ್ಲವೂ ದೊರೆಯುವುವು. ಹೀಗೆ ಒಂದೊಂದು ಫಲಕಕ್ಕೂ ಮೂರು ಮತ್ತು ಒಂದೊಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೂ ನಾಲ್ಕು ಅಂಚುಗಳು ಇರುವಂಥ ಒಂದು ಬಹುಫಲಕವಿದೆಯೆಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು.

ಕ್ರಮ ಅಷ್ಟಫಲಕ

ಚತುಷ್ಫಲಕಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಫಲಕಗಳೂ ಆರು ಶೃಂಗಗಳೂ ಇವೆ. ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಘನಾಕೃತಿಗೆ ಎಂಟು ಫಲಕಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಒಂದು ಕ್ರಮ ಅಷ್ಟಫಲಕವೆಂದು (regular octahedron) ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಕಕ್ಕೂ ಐದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೂ ಮೂರು ಅಂಚುಗಳಿರುವಂಥ ಒಂದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕವಿದೆಯೆಂದೂ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಹೊಂದುವಂಥ ವಿಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರದಿಂದ ಈ ಘನಾಕೃತಿಗೆ 30 ಅಂಚುಗಳು, 20 ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು 12 ಫಲಕಗಳಿವೆಯಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಇದರ ಹೆಸರು ಕ್ರಮ ದ್ವಾದಶಫಲಕ (regular dodecahedron).

ಕ್ರಮ ದ್ವಾದಶಫಲಕ

ಒಂದು ಕ್ರಮವಿಂಶತಿಭುಜಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವಂಥ ಪ್ರಮೇಯ: ಪ್ರತಿ ಒಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಐದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಒಂದು ಫಲಕಕ್ಕೆ ಮೂರು ಅಂಚುಗಳಿರುವಂಥ ಒಂದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕವಿದೆ (ಚಿತ್ರ). ಒಂದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವಿಕೃತ ಬಹುಫಲಕದಲ್ಲಿ OA, OB, OC, OD, OE ಎನ್ನುವ ಐದು ಅಂಚುಗಳು ಸಂಗಮಿಸುವ O ಎನ್ನುವ ಶೃಂಗದಿಂದ ತೊಡಗಿ OAB, OBD, . . . ತ್ರಿಭುಜ ಫಲಕಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. A, B, . . . ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳು AB, AC, . . . ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒತ್ತಾಗಿ ಒಂದೊಂದು ತ್ರಿಭುಜ ಫಲಕವೂ ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿವೆ. ಇವನ್ನು ABD₁, BOE₁, . . . ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಪೂರೈಸುವುವು. C₁AD₁, D₁BE₁, . . . . ತ್ರಿಭುಜಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಈಗ A₁, B₁, . . .  ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿಯೂ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಚು ಬೇಕಾಗಿವೆ. A₁, B₁, C₁, . . . ಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ O₁ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಗಮಿಸುವ ಅಂಚುಗಳು ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುವು.

ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕಗಳ ರಟ್ಟಿನ ಮಾದರಿಗಳು

ಒಂದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಳು ರಟ್ಟಿನಿಂದ ರಚಿಸಿ ಅದರ ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಫಲಕಗಳು ವಿಕೃತಗೊಳ್ಳದಂತೆ ಅದನ್ನು ಚಪ್ಪಟೆಗೊಳಿಸಿದೆವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಹೀಗೆ ದೊರೆಯುವಂಥ ಸಮತಲಾಕೃತಿಗೆ ಬಹುಫಲಕದ ಬಲೆ (ನೆಟ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಒಂದು ಬಲೆ ದತ್ತವಾಗಿರುವಾಗ ಅದರ ಅನುರೂಪ ಬಹುಫಲಕವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುವ ಕ್ರಮ ಹೀಗಿದೆ: ಬಲೆಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಒತ್ತಾಗಿರುವ ಫಲಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ರಟ್ಟಿನ ಮೇಲೆ ಬ್ಲೇಡಿನ ಸಹಾಯದಿಂದ ಗೀರಬೇಕು. ಹೀಗೆ ಗೀರಿದ ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಫಲಕಗಳು ಒಳಸೇರುವಲ್ಲಿ ಅಂಟುಪಟ್ಟಿಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅವನ್ನು ಜೋಡಿಸಬೇಕು.

ಒಂದು ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕದ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಹುಫಲಕದ ವಿಕೃತ ರೂಪವಿದೆಯೆಂದೂ ಅದರ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಫಲಕಗಳ ಆಕಾರ ತಿಳಿದಿವೆಯೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ ರೂಪದ ಪೂರ್ವಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ಒಂದು ಬಲೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಆ ವಿಕೃತರೂಪದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲ ಫಲಕಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಬೇಕು: ಹೀಗೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅದು ಬಲೆಯ ಒಳಮೈಯನ್ನು (ಇನ್ನರ್ ಸರ್ಫೇಸ್) ಕೊಡುವುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲೆಯಿಂದ ಬಹುಫಲಕವನ್ನು ರಚಿಸುವಾಗ ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮಡಿಸಬೇಕು, ಕ್ರಮ ಅಷ್ಟಭುಜದ (regular octagon) ವಿಕೃತರೂಪದಲ್ಲಿ 1,2,3,4 ಫಲಕಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಬಲೆಯನ್ನು 1,2,3,4 ಎನ್ನುವ ನಾಲ್ಕು ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜಗಳಿಂದ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. 1,5 ಮತ್ತು 2,6 ಫಲಕಗಳು ಒತ್ತಾಗಿ ಇವೆ. ಅಲ್ಲದೇ 6,2,1,5, ಫಲಕಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದ ಸುತ್ತ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ.

ಇವಿಷ್ಟು ಅಂಶಗಳು 5 ಮತ್ತು 6 ತ್ರಿಭುಜಗಳ ನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯಕವಾಗುವುವು. ಈ ಪ್ರಕಾರ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂಥ ಅಥವಾ ಬೇರೊಂದು ಉತ್ತಮ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಲೆ ನಮಗೆ ದೊರೆಯುವುದು. ಇದೇ ರೀತಿ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದಾದ ವಿಕೃತ ಸಮದ್ವಾದಶ ಫಲಕ ಮತ್ತು ವಿಕೃತ ಸಮವಿಂಶತಿ ಫಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಡುವಂಥ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಫಲಕಗಳು ಅವುಗಳ ಮೊದಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ.

ಅರೆ ಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕ (ಸೆಮಿರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್)

ಒಂದು ಬಹುಫಲಕದ ಎಲ್ಲ ಫಲಕಗಳೂ ಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂಥ ಬಹುಫಲಕಕ್ಕೆ ಅರೆಕ್ರಮಬಹುಫಲಕ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜ ಮತ್ತು ಚೌಕ ಕ್ರಮಫಲಕಗಳು, ಸಮದ್ವಿಭುಜ ತ್ರಿಭುಜ ಮತ್ತು ಆಯತಗಳಾದರೋ ಕ್ರಮ ಫಲಕಗಳಲ್ಲ. ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಫಲಕಗಳಿರಬಹುದು; ಆದರೆ ಅವು ಕ್ರಮ ಫಲಕಗಳಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ.

ಸಮದ್ವಿಭುಜ ತ್ರಿಭುಜಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾದ ಚತುಷ್ಫಲಕವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದರ ಎಲ್ಲ ಫಲಕಗಳೂ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಯಾವ ಫಲಕವೂ ಕ್ರಮವಾಗಿಲ್ಲ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಚತುಷ್ಫಲಕವನ್ನು (ನಮ್ಮ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ) ಎರಡನೆಯ ಜಾತಿಯ ಅರೆಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಲ್ಲದೇ ಇಂಥ ಚತುಷ್ಫಲಕದ ಅಂಚುಗಳ ಆರು ನಡು ಬಿಂದುಗಳು ಎರಡನೆಯ ಜಾತಿಯ ಅರೆಕ್ರಮ ಅಷ್ಟಫಲಕದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ.

ಮೂರನೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನೂ ಕೊಡಬಹುದು. ಒಂದು ಘನದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಅದರ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬೇಕು. ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಒಂದು ಅಂಚಿನಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕು. ಹೀಗೆ ದೊರೆಯುವ ಆರು ಬಿಂದುಗಳೂ ಘನದ ಎಂಟು ಶೃಂಗಗಳೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಎರಡನೆಯ ಜಾತಿಯ ಅರೆಕ್ರಮಬಹುಫಲಕದ 14 ಶೃಂಗಗಳಾಗುವುವು. ಅದಕ್ಕೆ 12 ಫಲಕಗಳೂ 24 ಅಂಚುಗಳೂ ಇವೆ. ಈ ಎಲ್ಲ ಫಲಕಗಳೂ ಸರ್ವಸಮ ವಜ್ರಾಕೃತಿಗಳು. ಇದರ ಹೆಸರು ವಜ್ರದ್ವಾದಶ ಫಲಕ (ರಾಂಬಿಕ್ ಡಾಡೆಕಹೆಡ್ರನ್). ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯ ಜಾತಿಯ ಅರೆಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕಗಳಿಗೆ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದೆ:

1. ಒಂದು ಕ್ರಮ ಚತುಷ್ಫಲಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚನ್ನು ಮೂರು ಸಮ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಒಂದೊಂದು ಜೊತೆ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದನೆಯ ಜಾತಿಯ ಅರೆಕ್ರಮ ಘನಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳು. ಇದಕ್ಕೆ ಎಂಟು ಫಲಕಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜಗಳು, ಮತ್ತು ಉಳಿದವು ಕ್ರಮ ಷಷ್ಠಭುಜಗಳು.
2. ಒಂದು ಘನದ ಅಂಚುಗಳ 12 ನಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ಅರೆಕ್ರಮ ಬಹುಫಲಕದ ಶೃಂಗಗಳು. ಇದಕ್ಕೆ 6 ಚೌಕಗಳೂ, 8 ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜಗಳೂ ಫಲಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಘನಾಕೃತಿಯ ಹೆಸರು ಚೌಕಾಷ್ಟಫಲಕ (ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಹೆಡ್ರನ್).
3. ಒಂದು ಘನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಕವೂ ಕ್ರಮ ಅಷ್ಟಭುಜವಾಗುವಂತೆಯೂ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜ ದೊರೆಯುವಂತೆಯೂ ಘನವನ್ನು ಛೇದಿಸುವಾಗ ದೊರೆಯುವ ಘನಾಕೃತಿ. ಇದರ ಹೆಸರು ಖಂಡಿತ ಘನ (ಟ್ರಂಕೇಟೆಡ್ ಕ್ಯೂಬ್).

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• Richeson, D.S. (2008). Euler's Gem: The polyhedron formula and the birth of topology. Princeton University Press.